Sylow定理

📅Date: 2024-06-30 📚Category: 数学 📑Word: 1.3k

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Sylow 定理

引理

  • 设 \(n=p^lm\), 其中 \((m,p)=1\), \(p\) 是素数, 则对 \(1\leqslant k\leqslant l\), 有 $$ p^{l-k}|C_n^{p^k},\quad p^{l-k+1}\nmid C_n^{p^k}. $$

定理 \(\text{Sylow}\) 第一定理

  • 设群 \(G\) 的阶 \(n=p^lm\), 其中 \(p\) 为素数, \((m,p)=1,\ l>0\), 则对 \(1\leqslant k\leqslant l\), \(G\) 中必有 \(p^k\) 阶子群, 其中 \(p^l\) 阶子群(即 \(p\) 的最高方幂阶子群)称为 \(G\) 的 \(\text{Sylow}\) \(p\)-子群.

证明

  • 设集合 \(\Omega\) 中的元素形如: $$ A={a_1,a_2,\ldots,a_{p^k}},\quad \text{其中}\ a_i\in G. $$
    对于 \(g\in G\), 令 $$ g\circ A:={ga_1,ga_2,\ldots,ga_{p^k}}. $$
    容易验证这是 \(G\) 在 \(\Omega\) 上的作用.

    我们取 \(\Omega\) 的 \(G\)-轨道完全代表系 \(\{A_i\}\), 从而 \(|\Omega| = \sum\limits_{i=1}^r |G(A_i)|\).

    由引理可知, \(p^{l-k+1} \nmid |\Omega|\). 于是至少存在一个 \(i\) 满足 \(p^{l-k+1}\nmid |G(A_i)|\).

    根据轨道稳定子定理 \(|G| = |G(A_i)||G_{A_i}|\). 由 \(p^l\) 恰好整除 \(|G|\), 所以 \(|G_{A_i}|\) 含有的 \(p\) 因子至少为 \(k\) 阶. 即 $$ |G_{A_i}|=p^kq\geqslant p^k. $$

    另一方面, 对于任意 \(g\in G_{A_i}\), 有 \(g\circ A_i = A_i\). 于是对于 \(a\in A_i\), 有 \(ga \in A_i\).

    从而 $$ G_{A_i}a={ga|g\in G_{A_i}}\subseteq A_i. $$
    因此 $$ |G_{A_i}| = |G_{A_i}a|\leqslant|A_i| = p^k. $$
    综上, \(|G_{A_i}| = p^k\). 从而 \(G_{A_j}\) 就是 \(G\) 的一个 \(p^k\) 阶子群.

定理 \(\text{Sylow}\) 第二定理

  • 设群 \(G\) 的阶 \(n=p^lm\), 其中 \(p\) 为素数, \((m,p)=1,l>0\), 则

    (1) 对于 \(1\leqslant k \leqslant l\), \(G\) 的任一 \(p^k\) 阶子群一定包含于 \(G\) 的某个 \(\text{Sylow}\) \(p\)-子群中;
    (2) \(G\) 的任意两个 \(\text{Sylow}\) p-子群 在 \(G\) 中共轭.

推论

  • 有限群 \(G\) 的 \(\text{Sylow}\) p-子群 是正规子群, 当且仅当 \(G\) 的 \(\text{Sylow}\) p-子群 的个数为 \(1\).

定理 \(\text{Sylow}\) 第三定理

  • 设群 \(G\) 的阶 \(n=p^lm\), 其中 \(p\) 为素数, \((m,p)=1,l>0\), 则 \(G\) 的\(\text{Sylow}\) p-子群 的个数 \(r\) 满足 $$ r\equiv 1(\bmod\ p),\quad \text{且}\ r\mid m. $$

推论

  • \(2p\) 阶群或者是循环群, 或者同构于二面体群 \(D_p\).

定义

  • 形如 \(a+b\text i+c\text j+d\text k\), 且满足 \(a,b,c,d \in \mathbb{R},\) $$ \text i^2=\text j^2=\text k^2=-1,\quad \text i\text j=-\text j\text i=\text k,\quad \text j\text k=- \text k\text j=i,\quad \text k\text i=-\text i\text k=\text j, $$ 称为四元数.

定义

  • 称 \(Q=\{\pm\ 1,\pm\ \text i,\pm\ \text j,\pm\ \text k\}\) 为四元数群, 容易验证 \(Q\) 对于上述乘法构成一个群.

  • 证明: \(p\)-群都可解.

证明

  • 设群 \(G\) 的阶为 \(p^\alpha\).

    根据 \(\text{Sylow}\) 第一定理, \(G\) 有 \(p^{\alpha-1}\) 阶子群, 根据习题 题目 可知 \(p^{\alpha-1}\) 阶群是正规子群.

    从而存在 \(G_1\) 满足 \(G\rhd G_1\), 且 \(G/G_1\) 是素数阶循环群.

    如此反复, 我们可以取出 \(G\rhd G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_{\alpha}=\{e\}\). 因此 \(p\)-群可解.

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